白话科学之有趣的模2运算

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有人在悟空问答里问我：什么是模2运算？在这里，我就用浅显的语言，来为大家说说这有趣的模2运算。

首先这个问题涉及到远古20000年至今还被广泛应用；其次这个问题横亘哲学、数学、现代计算机技术、通信技术等诸多学科，涉猎广泛，作为一个科普题目来说，非常有意义。

“模2运算”在我们上大学里应用数学里进制转换里涉及到，学习计算机及相关专业的基础学科里也学习到。

一、什么是模？什么是“模2运算”

那么什么是“模”呢？“模”是英语“modulo”的音译，也简称为“mod”，作为名词是“模；模数;系数；模量”的意思；作为介词是“对…取模”的意思；而作为动词是“按模计算”的意思。是不是一头雾水了？那么说中国话，模就是对一个整数求余数的运算，也称为“取模运算”或者“取余运算”，这两种运算不太一样，当被“模”的整数为正数时，两种运算是一样的，当“模”的整数为负数时，两种运算就不一样了，这里就不展开讨论了。为了好理解，我们可以理解为“模”就是对一个整数求余数的那个被除数。当这个被除数为“2”时，我们就称为“模2运算”。比如：5 MOD 2 余 1，这里2就是模数。

二、“模2运算”原理是什么？

其实“模 2运算”原理很简单 ，就是数学中二进制的四则运算，包含“加”、“减”、“乘”“除”，其规则和我们十进制里加减乘除四则运算规则是一样的，而不一样的是不考虑借位或进位的问题（有进位时，保留计算本位数 ，而不向前一位进位；减法时不够减，相当于从前一位借1当2，而前一位并不减少）这样，“模2运算”后，结果具有只针对本位有效，而对上一位、下一位不产生影响的特点。

模2加法：

0+0 =0，1+0 = 0+1 =1，1+1=0

模 2加法是 以最后位对齐竖列相加，根据模2运算法则，可以简单总结为：奇数个1相加得1，偶数个1相加得0

模2减法：

0-0 = 0，1-1 = 0，1-0=1，0-1=1

第四式代表了模2减法的特征，从它也可得出+1=-1的结论

模2乘法：

一位数的模2乘法定义如下：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1

多位数的模2乘法与普通乘法一样演算,唯一的区别是，部分积相加时按模2加，即奇数个1相加得1，偶数个1相加得0。

模2除法：

模2除法是模2乘法的逆运算。模2除法具有下列三个性质：

1、当最后余数的位数小于除数位数时，除法停止。

2、当被除数的位数小于除数位数时，则商数为0，被除数就是余数。

3、只要被除数或部分余数的位数与除数一样多，且最高位为1，不管其他位是什么数，皆可商1。

三、“模 2运算”是为什么发明的？

“模2运算”是为了机器运算而发明的。

这是德国天才大师莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 - 1716）受中国《周易》影响和启发，为了解决机器运算的方法，发明了完整的二进制运算法则。莱布尼茨在1679年3月15日记录下他的二进制体系的同时，还设计了一台可以完成机械计算的机器。这也为200多年以后电子计算机的发明奠定了基础。

莱布尼茨

四、现在“模2运算”主要应用

“模2运算”应用十分广泛，主要应用于数据存储及数据传输、数据通信时对数据正确性的校验方面。著名的通讯协议X.25的FCS(帧检错序列)采用的是CRC-CCITT，WinRAR、NERO、ARJ、LHA等压缩工具软件采用的是CRC32，磁盘驱动器的读写采用了CRC16，通用的图像存储格式GIF、TIFF等也都用CRC作为检错手段。

由于我们现代的通信技术都是采用数字技术，在传输中，存在着模-数、数-模多次转换 。在数字传输中，都是将各种信息转换为二进制进行传输的。传输有可能是有线传输，也可能是无线传输。受传输手段或者传输距离等影响，不可避免产生干扰，对传输质量肯定要带来影响。于是，人们就发明了一个在传输数据的同时，加上一个“校验数据”。现在数字通信采用的是CRC（Cyclic Redundancy Check）校验方法也叫循环冗余校验方法。

其特点是:检错能力强，开销小，易于用编码器及检测电路实现。从其检错能力来看，它所不能发现的错误的几率仅为0.0047%以下。从性能上和开销上考虑，均远远优于奇偶校验及算术和校验等方式。

由于篇幅有限，我就不一一展开说明，以后我会以文章形式进行科普。

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